[Kardar]V.2-C.3-散射和涨落

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上一章讨论了在朗道-金兹堡理论中最可能出现的构型（基态），并基于鞍点近似得到了一些临界行为和临界指数结果，但是一些临界指数，例如描述热容发散性的$\alpha$，与实验并不一致，这说明鞍点近似时的场均匀性假设不对，至少需要考虑一些低能的涨落模式。

本章在鞍点近似的基础上，讨论可由热激发的低能涨落模式，以及它们如何给出临界指数$\nu$、$\gamma$、$\eta$、$\alpha$。

实验比较

类型及维数$n$	材料	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$	$\nu$
铁磁（$n=3$）	$\ce{Fe}$，$\ce{Ni}$	$-0.1$	$0.4$	$1.3$	$0.7$
超流（$n=2$）	$\ce{He}{^4}$	$0$	$0.32$		$0.67$
气液（$n=1$）	$\ce{CO}{_2}$，$\ce{Xe}$	$0.1$	$0.30$	$1.24$	$0.63$
铁电/超导（$n=2$）	TGS	$0$	$0.5$	$1$	$0.5$
平均场预言		$0$	$1/2$	$1$	$1/2$

最后一行是利用鞍点近似得到的平均场结果，可见它仅在超导情况时与实验符合较好。实验数据中可以看到，临界指数和体系的维数$n$以及$d$实际上是存在一定关系的，而平均场理论过于一般性地将这一关系抹掉了。这个过程中一个重要的地方是，鞍点近似可能不够准确。

本章将会讨论这些涨落模式对各种临界行为的影响，并且看到这些涨落的影响如何与体系维数联系起来。

高斯积分

之前的计算中一直都是基于鞍点近似的平均场结果，也就是将积分仅用被积函数的最大值代替。但是实验结果表明这一近似是不够好的。为此需要发展高斯积分的数学技术。

单变量

最简单的单变量高斯积分

$$J = \int_{-\infty}^{+\infty} {\rm d}\phi \exp\left[ -\frac{K}{2}\phi^2 + h\phi \right] = \sqrt{\frac{2\pi}{K}} {\rm e}^{h^2/2K}$$

上式对参数$h$求导可得：

$$\begin{aligned} \frac{\rm d}{ {\rm d}h}&:\int_{-\infty}^{+\infty} {\rm d}\phi\ \phi \exp\left[ -\frac{K}{2}\phi^2 + h\phi \right] = \sqrt{\frac{2\pi}{K}} {\rm e}^{h^2/2K}\cdot\frac{h}{K}\\ \frac{\rm d}{ {\rm d}h}&:\int_{-\infty}^{+\infty} {\rm d}\phi\ \phi^2 \exp\left[ -\frac{K}{2}\phi^2 + h\phi \right] = \sqrt{\frac{2\pi}{K}} {\rm e}^{h^2/2K}\cdot\left[ \frac{1}{K} + \frac{h^2}{K^2} \right] \end{aligned}$$

如果上述指数因子代表随机变量$\phi$的（相对）概率分布（也就是高斯分布），那么上面两个式子就给出该变量的一阶和二阶矩：

$$\langle \phi \rangle = \frac{h}{K}\ ,\qquad \langle \phi^2 \rangle = \frac{1}{K} + \frac{h^2}{K^2}$$

对应的累积量则是

$$\langle \phi \rangle_c = \langle \phi \rangle = \frac{h}{K}\ ,\qquad \langle \phi^2 \rangle_c = \langle \phi^2 \rangle - \langle \phi \rangle^2 = \frac{1}{K}$$

更高阶的累积量全为零，因为

$$\langle {\rm e}^{-{\rm i}k\phi} \rangle = \exp\left[ \sum_{\ell=1}^\infty \frac{(-{\rm i}k)^\ell}{\ell!}\langle \phi^\ell \rangle_c \right] = \exp\left[ -{\rm i}k\frac{h}{K} - \frac{k^2}{2}\frac{1}{K} \right]$$

多变量

对于推广到多变量高斯积分的情况

$$\begin{aligned} \mathcal J_N &= \int_{-\infty}^{+\infty} \prod_{i=1}^N {\rm d}\phi_i \exp\left[ -\sum_{i,j}\frac{K_{ij}}{2}\phi_i \phi_j + \sum_i h_i\phi_i \right]\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} {\rm d}^N\phi \exp\left[ -{\boldsymbol \phi}^T \frac{\bf K}{2} {\boldsymbol \phi} + {\bf h}^T {\boldsymbol \phi} \right] \end{aligned}$$

通过对角化矩阵${\bf K} = [K_{ij}]$，就可将其转化为单变量高斯积分。我们关心对称矩阵$K_{ij} = K_{ji}$的情况，此时其本征值都是实的，且本征矢可以构造$N$维变量空间的完备正交基$\{ {\boldsymbol q}\}$，使得在该基上${\bf K} = {\rm diag}(K_q)$是以其本征值对角的：${\bf K}{\boldsymbol q} = K_q {\boldsymbol q}$。

于是在这组基下，$\phi_i = \sum_q \widetilde\phi_q q_i$；积分变量变换为

$$\begin{aligned} \mathcal J_N &= \prod_{q=1}^N \int_{-\infty}^{+\infty} {\rm d}\widetilde\phi_q \exp\left[ -\frac{K_q}{2}\widetilde\phi_q^2 + \widetilde h_q \widetilde\phi_q \right]\\ & = \prod_{q=1}^N \sqrt{\frac{2\pi}{K_q}} \exp\left[ \frac{\widetilde h_q \widetilde K_q^{-1} \widetilde h_q}{2} \right]\\ &= \sqrt{\frac{(2\pi)^N}{\det{\bf K}}} \exp\left[ \frac{ {\bf h}^T {\bf K}^{-1} {\bf h} }{2} \right] \end{aligned}$$

如果$\{\phi_i\}$​的联合概率分布正比于上述积分，于是联合特征函数

$$\langle {\rm e}^{-{\rm i}{\bf k}^T{\boldsymbol\phi}} \rangle = \exp\left[ -{\rm i}{\bf k}^T {\bf K}^{-1} {\bf h} - \frac{ {\bf k}^T {\bf K}^{-1} {\bf k}}{2} \right]$$

或者记$A = \sum_i a_i \phi_i$，上式也可写为

$$\langle \exp(\alpha A) \rangle = \exp\left( \alpha\langle A\rangle_c + \frac{\alpha^2}{2}\langle A^2\rangle_c \right)$$

从上面式子可以得到多维高斯变量的累积量是

$$\langle \phi_i \rangle_c = \sum_j K_{ij}^{-1} h_j\ ,\qquad \langle \phi_i \phi_j \rangle_c = K_{ij}^{-1}$$

泛函积分

高斯积分还可推广到泛函积分的领域。高斯泛函积分是上述多变量积分的极限情况，将矢量$\boldsymbol\phi = (\phi_i)$推广为$d$维空间中的函数$\phi({\bf x})$，求和替换为积分，并且矩阵${\bf K} = [K_{ij}]$替换为积分核$K({\bf x},{\bf x}’)$：

$$\begin{aligned} \int\mathcal D[\phi({\bf x})] & \exp\left[ -\int {\rm d}^dx {\rm d}^dx' \frac{K({\bf x},{\bf x}')}{2} \phi({\bf x}) \phi({\bf x}') + \int{\rm d}^dx h({\bf x}) \phi({\bf x}) \right]\\ & \propto (\det{\bf K})^{-1/2} \exp\left[ \int {\rm d}^dx {\rm d}^dx' \frac{K^{-1}({\bf x},{\bf x}')}{2} h({\bf x}) h({\bf x}') \right] \end{aligned}$$

其中积分核的逆$K^{-1}({\bf x},{\bf x}’)$定义为

$$\int{\rm d}^dx' K({\bf x},{\bf x}') K^{-1}({\bf x}',{\bf x}'') = \delta^{(d)}({\bf x}' - {\bf x}'')$$

函数$\phi({\bf x})$的累积量是

$$\langle \phi({\bf x}) \rangle_c = \int{\rm d}^dx' K^{-1}({\bf x},{\bf x}') h({\bf x}') \ ,\qquad \langle \phi({\bf x}) \phi({\bf x}') \rangle_c = K^{-1}({\bf x},{\bf x}')$$

关联函数

在处理朗道-金兹堡理论的微小涨落时，要处理如下形式的积分

$$\int{\rm d}^dx \left[(\nabla\phi({\bf x}))^2 + \frac{\phi^2({\bf x})}{\xi^2} \right] = \int{\rm d}^dx{\rm d}^dx' \phi({\bf x}') \delta^{(d)}({\bf x}' - {\bf x}') (-\nabla^2 + \xi^{-2}) \phi({\bf x})$$

此处的积分核是

$$K({\bf x},{\bf x}') = \delta^{(d)}({\bf x} - {\bf x}') (-\nabla^2 + \xi^{-2})$$

其逆满足

$$\int{\rm d}^dx' \delta^{(d)}({\bf x} - {\bf x}') (-\nabla^2 + \xi^{-2}) K^{-1}({\bf x}' - {\bf x}'') = \delta^{(d)}({\bf x} - {\bf x}'')$$

即

$$(-\nabla^2 + \xi^{-2}) K^{-1}({\bf x}) = \delta^{(d)}({\bf x})$$

于是

$$\langle \phi({\bf x}) \phi({\bf x}') \rangle_c = \langle \phi({\bf x}) \phi({\bf x}') \rangle = K^{-1}({\bf x} - {\bf x}')$$

散射和涨落

要探测体系的涨落模式，除了通过体态热力学实验之外，散射实验也可以探测在探针（例如光子）的波长量级尺度的微观涨落。

散射实验

考虑一个波矢${\bf k}_i$的光束照射到材料并发生散射，散射光的波矢是${\bf k}_s = {\bf k}_i + {\bf q}$。在发生弹性散射时，$|{\bf k}_i| = |{\bf k}_s| = k$，$|{\bf q}| = 2k\sin(\theta/2)$，$\theta$是入射和散射之间的夹角。费米黄金规则给出散射振幅

$$A({\bf q}) \propto \bra{ {\bf k}_s \otimes f}\mathcal U \ket{ {\bf k}_i \otimes i} \propto \sigma({\bf q}) \int{\rm d}^d x {\rm e}^{ {\rm i}{\bf q}\cdot{\bf x}}\rho({\bf x}) = \sigma({\bf q}) \rho({\bf q})$$

其中$\ket{i}$和$\ket{f}$分别是散射前后样品所处的量子态，$\mathcal U$是散射势，可以写为来自样品中不同粒子贡献之和。散射振幅中有一个局域形状因子$\sigma({\bf q})$，描述在单个粒子势场中的散射，当$\bf q$很小时基本是常数；还有一个全局形状因子$\rho({\bf q})$，描述散射体的分布密度（$\rho({\bf x})$​的傅立叶变换）。

上式表明，均匀密度只会导致前向散射${\bf q} = 0$；因此在此基础上长波的模式导致小角度散射，或者说非前向的小角度散射来自于长波模式，因此我们可以通过小${\bf q}$散射来研究体系的长波涨落。

同样材料在不同的散射实验中，主导的散射体取决于探针的种类。例如光散射对原子分布敏感，电子散射对电荷分布敏感，中子散射则常用于探测磁化密度。大多数这些探针实际上并不是探测体系某个瞬时的状态，而是其位形的时间平均，因此观测到的散射强度

$$S({\bf q}) \propto \langle |A({\bf q})|^2 \rangle \propto \langle |\rho({\bf q})|^2 \rangle$$

这里$\langle \rangle$​表示热平均，在遍历性意义上它与时间平均是一致的。下面我们就要来计算$\langle |\rho({\bf q})|^2 \rangle$​。

涨落模式

若散射是由磁化密度，即$\rho({\bf q}) = \vec m({\bf q})$引起，那么就可以利用朗道-金兹堡理论计算其散射强度。特定场构型的相对概率是其有效哈密顿量的玻尔兹曼因子

$$\mathscr P[\vec m({\bf x})] \propto \exp\left\{ -\int{\rm d}^dx \left[ \frac{K}{2}(\nabla m)^2 + \frac{t}{2}m^2 + u m^4 \right] \right\}$$

如之前所述，最可能的构型是均匀场$\vec m({\bf x}) = \overline m \hat e_1$，且在$t>0$时$\overline m(t>0) = 0$，$t<0$则自发对称破缺为$\overline m(t<0) = \sqrt{-t/4u}$。假设在此基础上存在一小涨落

$$\vec m({\bf x}) = [\overline m + \phi_{\ell}({\bf x})]\hat e_1 + \sum_{\alpha=2}^n \phi_{t,\alpha}({\bf x}) \hat e_\alpha = [\overline m + \phi_{\ell}({\bf x})]\hat e_1 + \vec \phi_{t}({\bf x})$$

其中$\phi_{\ell}$和$\vec \phi_{t}$分别表示在$\vec m$​的基础上对其长度（纵向涨落）和方向（横向涨落）的小扰动，后者是与$\hat e_1$垂直的$n=1$维矢量。于是

$$\begin{dcases} (\nabla m)^2 = (\nabla \phi_{\ell})^2 + (\nabla \phi_{t})^2\\ m^2 = \overline m^2 + 2 \overline m \phi_{\ell} + \phi_{\ell}^2 + \phi_{t}^2\\ m^4 = \overline m^4 + 4 \overline m^3 \phi_{\ell} + 6\overline m^2 \phi_{\ell}^2 + 2\overline m^2 \phi_{t}^2 + \mathcal O(\phi_{\ell}^3,\phi_{t}^3) \end{dcases}$$

上面

$$\phi_t^2 = \sum_{\alpha=2}^n \phi_{t,\alpha}^2\ ,\quad (\nabla\phi_{t})^2 = \sum_{\alpha=2}^n (\nabla\phi_{t,\alpha})^2$$

到这些场量的二阶，涨落带来的额外能量是（利用$t \overline m + 4 u \overline m^3 = 0$的条件）

$$\begin{aligned} \beta\mathcal H[\phi_\ell,\vec \phi_t] = &\int{\rm d}^dx \left[ \frac{K}{2}(\nabla \phi_{\ell})^2 + \frac{t+12u\overline m^2}{2} \phi_{\ell}^2 \right]\\ &+ \int{\rm d}^dx \left[ \frac{K}{2}(\nabla \phi_{t})^2 + \frac{t+4u\overline m^2}{2} \phi_{t}^2 \right]\\ &+\mathcal O(\phi_{\ell}^3,\phi_{t}^3) \end{aligned}$$

从中可以看出，纵向和横向涨落的“劲度系数”分别是

$$\frac{K}{\xi_\ell^2} = t + 12 u \overline m^2 = \begin{cases} t & t>0\\ -2t & t<0 \end{cases} \quad = \left.\frac{\partial^2\Psi(m)}{\partial \phi_\ell^2} \right|_{\overline m} = \chi_\ell^{-1}$$ $$\frac{K}{\xi_t^2} = t + 4 u \overline m^2 = \begin{cases} t & t>0\\ 0 & t<0 \end{cases} \quad = \left.\frac{\partial^2\Psi(m)}{\partial \phi_t^2} \right|_{\overline m} = \chi_t^{-1}$$

实际上就是磁化率的倒数。其中

$$\begin{cases} \xi_\ell = \sqrt{\dfrac{K}{t + 12 u \overline m^2}}\\ \xi_t = \sqrt{\dfrac{K}{t + 4 u \overline m^2}} \end{cases}$$

下一小节将会论证，他们分别就是纵向和横向的关联长度。

可见当$t>0$时，由于显示顺磁相，纵向和横向变形没有区别；但当$t<0$​​时，为铁磁相，横向变形不会产生代价（没有恢复力），因为它们实际上就是G模。

动量空间

为了得到$S({\bf q}) \propto \langle |\phi({\bf q})|^2 \rangle$，首先在动量空间研究涨落，其傅立叶模：

$$\phi({\bf x}) = \frac{1}{\sqrt V}\sum_{\bf q}\phi_{\bf q} {\rm e}^{ {\rm i}{\bf q}\cdot{\bf x}}$$

可表示出特定涨落构型的相对概率

$$\begin{aligned} \mathscr P[\phi_{\ell,{\bf q}},\vec \phi_{t,{\bf q}}] &\propto \prod_{\bf q} \exp\left\{ -\frac{K}{2}(q^2 + \xi_\ell^{-2} )|\phi_{\ell,{\bf q}}|^2 \right\} \exp\left\{ -\frac{K}{2}(q^2 + \xi_t^{-2} )|\phi_{t,{\bf q}}|^2 \right\}\\ & = \prod_{\alpha,\bf q} \exp\left\{ -\frac{K}{2}(q^2 + \xi_\alpha^{-2} )|\phi_{\alpha,{\bf q}}|^2 \right\} \end{aligned}$$

可见，每个方向（包括一个纵向和$n-1$​个横向）上的涨落模式的行为都类似一个零均值的高斯随机变量，且相互独立。

注意到实场的傅立叶模虽然是复的：$\phi_{\bf q} = \phi_{ {\bf q},\frak R} + {\rm i} \phi_{ {\bf q},\frak I}$，但这不会增加场的自由度，因为复场满足额外的约束：

$$\phi_{-\bf q} = \phi_{\bf q}^* = \phi_{ {\bf q},\frak R} - {\rm i} \phi_{ {\bf q},\frak I}$$

对应的高斯分布概率权重因子也可写为

$$\exp\left\{ -\frac{k(q)}{2} |\phi_{\bf q}|^2 \right\} = \exp\left\{ -\frac{k(q)}{2} \phi_{\bf q} \phi_{\bf q}^* \right\} = \exp\left\{ -\frac{k(q)}{2} \phi_{\bf q} \phi_{-\bf q} \right\}$$

因此总的概率分布是

$$\mathscr P[\phi_{\alpha,{\bf q}}] \propto \prod_{\alpha,\bf q} \exp\left\{ -\frac{K}{2}(q^2 + \xi_\alpha^{-2} ) \phi_{\alpha,{\bf q}}\phi_{\alpha,-{\bf q}} \right\}$$

可见在上述概率分布中，$\phi_{\alpha,{\bf q}}$只有与自己，或与$\phi_{\alpha,-{\bf q}}$之间可以存在关联；还可进一步用复场分量改写为

$$\mathscr P[\phi_{\alpha,{\bf q}}] \propto \prod_{\alpha,{\bf q}>0} \exp\left\{ -\frac{K}{2}(q^2 + \xi_\alpha^{-2} ) ( \phi_{\alpha,{\bf q},\frak R}^2 + \phi_{\alpha,{\bf q},\frak I}^2 ) \right\}$$

此时仅对半个动量空间$|{\bf q}|>0$求和。它们的高斯方差是

$$\langle \phi_{\alpha,{\bf q},\frak R}^2 \rangle = \langle \phi_{\alpha,{\bf q},\frak I}^2 \rangle = \frac{1}{K(q^2 + \xi_\alpha^{-2} )}$$

立即就可以得到

$$\langle \phi_{\alpha,{\bf q}} \phi_{\alpha,\mp{\bf q}} \rangle = \langle \phi_{\alpha,{\bf q},\frak R}^2 \rangle \pm \langle \phi_{\alpha,{\bf q},\frak I}^2 \rangle = \frac{1\pm1}{K(q^2 + \xi_\alpha^{-2} )}$$

于是得到一般的形式

$$\langle \phi_{\alpha,{\bf q}} \phi_{\beta,{\bf q}'} \rangle = \frac{\delta_{\alpha,\alpha'}\delta_{ {\bf q},-{\bf q}'}}{K(q^2 + \xi_\alpha^{-2})}$$

其中$\alpha,\beta = 1,2,\dots, n$。于是就得到了一开始要求的

$$S_\alpha({\bf q}) \propto \langle |\phi_{\alpha,{\bf q}}|^2 \rangle = \langle \phi_{\alpha,{\bf q}} \phi_{\alpha,-{\bf q}} \rangle \propto \frac{1}{q^2 + \xi_\alpha^{-2}}$$

由于上述各场均为零均值的场，可见

$$\langle \phi_{\alpha,{\bf q}} \phi_{\beta,{\bf q}'} \rangle = \langle \phi_{\alpha,{\bf q}} \phi_{\beta,{\bf q}'} \rangle_c$$

可见这正是动量空间的关联函数，$S_\alpha({\bf q})$与其成正比。因此研究$S_\alpha({\bf q})$的性质就是在研究体系在动量空间中关联的性质。

动量空间关联函数

这种曲线形式$S(q)\sim 1/(q^2+\xi^{-2})$称为洛伦兹形，在远离临界时提供对散射很好的拟合；并且曲线的衰减行为在$\xi^{-1}$两侧不同存在分界点，当$q<\xi^{-1}$时衰减受到$\xi$的控制较慢，$q>\xi^{-1}$时则近似为$\sim q^{-2}$​衰减。

在$t>0$时的无序相，横向和纵向散射都是洛伦兹形且相等；并且同一个模式，随着$t$越小（温度越接近临界），其关联长度越长（$\xi^{-1}$越小），$S(q)$的峰值（即${\bf q}=0$时前向散射强度）越高。

在$t<0$时的有序相，发生了自发对称性破缺并产生G模，此时只有纵向散射仍是洛伦兹形，在${\bf q}=0$时就反映体系的自发磁化强度；而横向散射就是G模，其$\xi_t^{-1} = 0$，因此横向散射一直以$\sim q^{-2}$幂次形，在$q\sim 0$时发散。

当$t=0$的临界点附近，横向和纵向关联长度都发散，上述模型预测两者的发散行为均为$S(q)\sim 1 / q^2$。但是实验结果表明

$$S({\bf q},T_c) \propto \frac{1}{q^{2-\eta}}$$

存在一个小的正$\eta$值。这说明朗道-金兹堡理论+高斯分布的涨落不能完全解释全部物理。

关联函数和磁化率

实空间关联函数

也可以在实空间考察涨落。其平均值为零

$$\langle \phi_\alpha({\bf x}) \rangle = \langle m_\alpha({\bf x}) - \overline m_\alpha \rangle = 0$$

从而连通关联函数就是

$$\begin{aligned} G^c_{\alpha,\beta}({\bf x},{\bf x}') &= \langle m_\alpha({\bf x}) - \overline m_\alpha \rangle \langle m_\beta({\bf x}') - \overline m_\beta \rangle\\ &= \langle \phi_\alpha({\bf x}) \phi_\beta({\bf x}') \rangle\\ &= \frac{1}{V} \sum_{ {\bf q},{\bf q}'} {\rm e}^{ {\rm i}{\bf q}\cdot{\bf x} + {\rm i}{\bf q}'\cdot{\bf x}'} \langle \phi_{\alpha,{\bf q} } \phi_{\beta,{\bf q}' } \rangle\\ &= \frac{\delta_{\alpha,\beta}}{K} \frac{1}{V}\sum_{\bf q} \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}{\bf q}\cdot ({\bf x} - {\bf x}')}}{q^2 + \xi_\alpha^{-2}}\\ &= - \frac{\delta_{\alpha,\beta}}{K} I_d({\bf x}-{\bf x}',\xi_\alpha) \end{aligned}$$

在连续极限时，

$$I_d({\bf x},\xi) = - \int \frac{ {\rm d}^d{\bf q}}{(2\pi)^d} \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}{\bf q}\cdot {\bf x} } }{ q^2 + \xi^{-2} }$$

要研究这个函数的行为。不难发现这是一个格林函数，它是如下方程的解

$$(\nabla^2 - \xi^{-2}) I_d({\bf x},\xi) = \delta^{(d)}({\bf x})$$

或者变形为

$$\nabla^2 I_d({\bf x},\xi) = \delta^{(d)}({\bf x}) + \xi^{-2} I_d({\bf x},\xi)$$

上式的一个物理解释是处于原点处的电荷产生的电势，但被一个特征长度为$\xi$的屏蔽效应所屏蔽。其因此考虑一个试探解

$$I_d({\bf x},\xi) \propto \frac{ {\rm e}^{-x/a}}{x^{p}}$$

代入方程得到

$$\frac{p(p+1)}{x^2} + \frac{2p}{xa} + \frac{1}{a^2} - \frac{p(d-1)}{x^2} - \frac{d-1}{xa} = \frac{1}{\xi^2}$$

为消除常数项，需要取$a = \xi$；但是不可能取一个$p$在$x$的全空间满足上式，只能考虑两个极限行为：

• 对$x\ll\xi$，此时$1/x^2$项主导，可取$p(p+1) = p(d-1)$即$p = d-2$以近似满足方程，且指数衰减项不重要；
• 对$x\gg\xi$，此时$1/x\xi$主导，可取$2p = d-1$，且指数衰减项重要。

综合以上分析，可以写出（经过适当匹配常系数后）

$$I_d({\bf x},\xi) \simeq \begin{dcases} \frac{1}{(2-d)S_d} \frac{1}{x^{d-2}} & x\ll\xi\\ \frac{\xi^{(3-d)/2}}{(2-d)S_d} \frac{ {\rm e}^{-x/\xi}}{x^{(d-1)/2}} & x\gg\xi \end{dcases}$$

可见，在这里$\xi$​扮演的角色正是第一章中所引入的关联长度。

关联长度

根据上一节的讨论，纵向模式的关联长度

$$\xi_\ell = \begin{dcases} \sqrt{\frac{K}{t}} & t>0\\ \sqrt{\frac{K}{-2t}} & t<0 \end{dcases}$$

可将其临界行为参数化为

$$\xi_{\ell,\pm} = \xi_0 B_\pm |t|^{-\nu_\pm}$$

其中$\nu_\pm = 1/2$，$B_+/B_- = \sqrt2$都是普适的，但$\xi_0\propto \sqrt{K}$与材料有关。

横向模式的关联长度$\xi_t$在$t>0$时与$\xi_\ell$相等，在$t<0$时一直发散。

响应函数

下面来检查随着关联长度$\xi$发散时，关联函数$G^c$本身的发散行为。这可通过

$$\chi \propto \int{\rm d}^dx G^c({\bf x})$$

得到。注意到关联仅在关联长度内显著，因此上式积分可以近似为$0\sim\xi$的积分。

对于纵向响应函数，根据$\xi_\pm = \xi_0 B_\pm |t|^{-\nu_\pm}$可得，其在$t>0$和$t<0$两侧的发散行为都是：

$$\chi_{\ell,\pm} \propto \int{\rm d}^dx G_{\ell,\pm}^c({\bf x}) \propto \int_0^{\xi_{\ell,\pm}} \frac{ {\rm d}^dx}{x^{d-2}} \propto \xi_{\ell,\pm}^2 \simeq A_{\ell,\pm} |t|^{-1}$$

与关联长度类似，$\gamma_{\ell,\pm} = 1/2$，$A_{\ell,+}/A_{\ell,-} = \sqrt2$都是普适的。

对于横向关联函数，其在$t>0$时也是一样的

$$\chi_{t,+} \propto \int{\rm d}^dx G_{t,+}^c({\bf x}) \propto \int_0^{\xi_{t,+}} \frac{ {\rm d}^dx}{x^{d-2}} \propto \xi_{t,+}^2 \simeq A'_+ |t|^{-1}$$

即$\gamma_{t,+} = 1/2$。但是在$t<0$时，关联长度$\xi_{t,-}$始终是发散的，此时的积分

$$\chi_{t,-} \propto \int{\rm d}^dx G_{t,-}^c({\bf x}) \propto \int_0^{L} \frac{ {\rm d}^dx}{x^{d-2}} \propto L^2$$

直接与体系的尺度$L$相关联。

涨落关联与下临界维数

伴随着连续对称性自发破缺而出现的低能G模，很容易被热涨落所激发。上一节的讨论中看到，一般的涨落在有序相和无序相中都是类似的；但是G模只会在破缺对称性的有序相中存在，并且行为与一般的涨落完全不同。此时不能再简单套用上一节的结果。

例如，有序相中的横向涨落模式，关联长度$\xi_{t,-}$始终发散。一个担心是，在已经自发破缺连续对称性并建立长程序的有序相中，这样长程的横向（G模）关联是否会对体系的长程序造成影响，甚至破坏长程序？答案是与体系的维数有关。

我们现在只关心各种涨落模式中的G模激发，也就是说那些关联长度始终发散的激发。因此以超流为例，设其序参量的模长是均匀的而相位是缓变的，则一个特定构型$\theta({\bf x})$的相对概率是

$$\mathscr P[\theta({\bf x})] \propto \exp \left[ -\frac{\overline K}{2} \int{\rm d}^dx (\nabla \theta({\bf x}))^2 \right]$$

或者在频域中就是

$$\mathscr P[\theta_{\bf q}] \propto \exp \left[ -\frac{\overline K}{2} \sum_{\bf q} q^2 |\theta_{\bf q}|^2 \right] \propto \prod_{\bf q} \ p(\theta_{\bf q})$$

每个模式$\theta_{\bf q}$都是独立的、零均值的、高斯的随机变量。根据前面的讨论，动量空间关联函数

$$\langle \theta_{\bf q} \theta_{\bf q'} \rangle = \frac{\delta_{ {\bf q},-{\bf q}'}}{\overline K q^2}$$

或者实空间中的关联函数

$$G^c_\theta({\bf x}-{\bf x}') = \langle \theta({\bf x}) \theta({\bf x}') \rangle = \frac{1}{V} \sum_{ {\bf q},{\bf q}'} {\rm e}^{ {\rm i}{\bf q}\cdot{\bf x} + {\rm i}{\bf q}'\cdot{\bf x}'} \langle \theta_{\bf q} \theta_{\bf q'} \rangle = \frac{1}{V} \sum_{\bf q} \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}{\bf q}\cdot({\bf x} - {\bf x}')} }{ \overline K q^2 }$$

连续极限下

$$G^c_\theta({\bf x}-{\bf x}') = \int \frac{ {\rm d}^d q}{(2\pi)^d} \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}{\bf q}\cdot({\bf x} - {\bf x}')} }{ \overline K q^2 } = - \frac{C_d({\bf x}-{\bf x}')}{\overline K}$$

其中函数

$$C_d({\bf x}) = \int \frac{ {\rm d}^d q}{(2\pi)^d} \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}{\bf q}\cdot{\bf x}} }{ q^2 }$$

就是$d$维空间中的点电荷库仑势，满足泊松方程

$$\nabla^2 C_d({\bf x}) = \delta^{(d)}({\bf x})$$

利用高斯定理

$$\int {\rm d}^dx \nabla^2 C_d = \oint{\rm d}{\bf S} \cdot \nabla C_d$$

可以找到一个解

$$C_d({\bf x}) = \frac{1}{(2-d)S_d}\frac{1}{x^{d-2}} + c_0 = \frac{x^{2-d}}{(2-d)S_d} + c_0$$

其中系数

$$S_d = \frac{2\pi^{d/2}}{(d/2-1)!}$$

这样关联函数的长程行为与空间维数相关，例如

$$\lim_{x\to\infty} C_d(x) = \begin{dcases}\begin{gather} c_0 & d>2\\ \frac{1}{2\pi}\ln x & d=2\\ \frac{x^{2-d}}{(2-d)S_d} & d<2 \end{gather}\end{dcases}$$

可见对于$d>2$的体系，在长程序的相中，G模长程关联是有限的，即相位涨落是有限的。但是$d\leq2$体系的长程序相中，其G模长程关联是渐近大的发散，使相位涨落也渐近发散；而$\theta({\bf x})$本身是取值不超过$2\pi$的相位，这一矛盾暗示着在$d\leq2$体系中，G模激发可能会破坏体系的长程序。

为了看出这一点，我们检查相位的涨落对序参量本身的两点关联函数的影响：

$$\langle \psi({\bf x}) \psi^*({\bf 0}) \rangle = \overline\psi \Big\langle \exp \Big[ {\rm i} \big(\theta({\bf x}) - \theta({\bf 0}) \big) \Big] \Big\rangle$$

利用零均值高斯分布的结论

$$\langle \exp(\alpha\theta) \rangle = \exp\left( \frac{\alpha^2}{2}\langle\theta^2\rangle \right)$$

就有

$$\langle \psi({\bf x}) \psi^*({\bf 0}) \rangle = \overline\psi \exp\left[ -\frac{1}{2} \Big\langle \big[\theta({\bf x}) - \theta({\bf 0}) \big]^2 \Big\rangle \right]$$

而根据

$$\Big\langle \big[\theta({\bf x}) - \theta({\bf x}') \big]^2 \Big\rangle = 2 \langle \theta({\bf x})^2 \rangle - 2\langle \theta({\bf x})\theta({\bf x}') \rangle \simeq \frac{2}{\overline K (2-d) S_d}\Big[ |{\bf x}-{\bf x}'|^{2-d} - a^{2-d} \Big]$$

其中$a\sim\langle \theta({\bf x})^2\rangle$大致是格距量级。于是

$$\langle \psi({\bf x}) \psi^*({\bf 0}) \rangle \simeq \overline\psi \exp\left[ -\frac{x^{2-d} - a^{2-d}}{\overline K (2-d) S_d} \right]$$

其渐近行为是

$$\lim_{x\to\infty} \langle \psi({\bf x}) \psi^*({\bf 0}) \rangle = \begin{dcases}\begin{gather} \overline {\psi'}^2 & d>2\\ 0 & d\leq2 \end{gather}\end{dcases}$$

与平均场的结果$\overline\psi$比较，可见G模涨落的影响，在$d>2$体系会降低有序性，而在$d\leq2$时会完全破坏体系的长程序。$d_\ell=2$就被称为下临界维数。

上述结果是更普遍的Mermin-Wagner定理的例子，它指出在$d\leq2$且具有短程相互作用的体系中，热涨落会破坏体系的长程序，从而导致连续对称性不会自发破缺。还有一些相关的结论是：

• 对于$d = d_\ell=2$的临界维数体系，尽管没有真正的长程序，但是实际上存在不破坏连续对称性的连续相变（例如二维超流体系中）；
• 若被破缺的对称性是离散的，则不存在G模，因此在这样的体系中，长程序可以在最低到$d_\ell = 1$的体系中都存在。

涨落修正与上临界指数

利用高斯积分技术就可得到在鞍点解附近涨落如何影响自由能和其他宏观性质。从涨落的配分函数开始

$$\begin{aligned} Z = &\ \exp\left( - \beta\mathcal H[\phi_\ell,\vec \phi_t] \right)\\ \simeq &\ \exp\left[ - V \left( \frac{t}{2}\overline m^2 + u \overline m^4 \right) \right]\\ &\times \int \mathcal D[\phi_\ell] \exp \left\{ -\frac{K}{2} \int {\rm d}^dx \left[ (\nabla \phi_\ell)^2 + \frac{\phi_\ell^2}{\xi_\ell^2} \right] \right\}\\ &\times \prod_{\alpha=2}^n \int \mathcal D[\phi_{t,\alpha}] \exp \left\{ -\frac{K}{2} \int {\rm d}^dx \left[ (\nabla \phi_{t,\alpha})^2 + \frac{\phi_{t,\alpha}^2}{\xi_{t,\alpha}^2} \right] \right\} \end{aligned}$$

其中$1$个纵向涨落的高斯积分，$n-1$个横向涨落的高斯积分。每个高斯积分核都可用如下的傅立叶模对角化

$$\widetilde\phi({\bf q}) = \frac{1}{\sqrt V} \int{\rm d}^dx {\rm e}^{-{\rm i}{\bf q}\cdot{\bf x}} \phi({\bf x})$$

它们都是积分核的本征函数，对应的本征值是

$$K({\bf q}) = K(q^2 + \xi^{-2})$$

于是

$$\begin{aligned} Z &\simeq \exp\left[ - V \left( \frac{t}{2}\overline m^2 + u \overline m^4 \right) \right] \left\{ \prod_{\bf q} \sqrt{ \frac{2\pi}{ K(q^2 + \xi_\ell^{-2}) } } \right\} \left\{ \prod_{\alpha=2}^n \prod_{\bf q} \sqrt{ \frac{2\pi}{ K(q^2 + \xi_{t,\alpha}^{-2}) } } \right\}\\ &\propto \exp\left[ - V \left( \frac{t}{2}\overline m^2 + u \overline m^4 \right) \right] \left\{ \prod_{\bf q} \left[ K(q^2 + \xi_\ell^{-2}) \right]^{-1/2} \right\} \left\{ \prod_{\bf q} \left[ K(q^2 + \xi_t^{-2}) \right]^{-1/2} \right\}^{n-1} \end{aligned}$$

在连续极限下，自由能密度

$$\begin{aligned} \beta f = \frac{\beta F}{V} &= -\frac{\ln Z}{V}\\ &= f_0 + \frac{t\overline m^2}{2} + u\overline m^4 - \frac{1}{V} \ln \left\{ \prod_{\bf q} \left[ K(q^2 + \xi_\ell^{-2}) \right]^{-1/2} \right\} \left\{ \prod_{\bf q} \left[ K(q^2 + \xi_t^{-2}) \right]^{-1/2} \right\}^{n-1}\\ &= f_0 + \frac{t\overline m^2}{2} + u\overline m^4 + \frac{1}{2V} \sum_{\bf q} \ln \left[ K(q^2 + \xi_\ell^{-2}) \right] + \frac{n-1}{2V} \sum_{\bf q} \ln \left[ K(q^2 + \xi_t^{-2}) \right]\\ &= f_0 + \frac{t\overline m^2}{2} + u\overline m^4 + \frac{1}{2} \int \frac{ {\rm d}^dq}{(2\pi)^d} \ln \left[ K(q^2 + \xi_\ell^{-2}) \right] + \frac{n-1}{2} \int \frac{ {\rm d}^dq}{(2\pi)^d} \ln \left[ K(q^2 + \xi_t^{-2}) \right] \end{aligned}$$

根据之前得到的关联长度对约化温度$t$的关系

$$\begin{aligned} K \xi_\ell^{-2} &= \begin{cases} t & t>0\\ -2t & t<0 \end{cases}\\ K \xi_t^{-2} &= \begin{cases} t & t>0\\ 0 & t<0 \end{cases} \end{aligned}$$

可得热容在临界附近的行为

$$C_{\rm singular} \propto -\frac{\partial^2(\beta f)}{\partial t^2} = \begin{dcases} 0 + \frac{n}{2} \int \frac{ {\rm d}^dq}{(2\pi)^d} \frac{1}{(Kq^2 + t)^2} & t > 0\\ \frac{1}{8u} + 2 \int \frac{ {\rm d}^dq}{(2\pi)^d} \frac{1}{(Kq^2 - 2t)^2} & t < 0 \end{dcases}$$

与上一章仅从鞍点近似所得的结果相比

$$C = C_0 + V k_B a^2 T_c^2\begin{dcases} 0 & t>0\\ \frac{1}{8u} & t<0 \end{dcases}$$

可见考虑了涨落之后，会给热容以涨落修正项，涨落项正比于

$$C_F = \frac{1}{K^2} \int \frac{ {\rm d}^dq}{(2\pi)^d} \frac{1}{(q^2 + \xi^{-2})^2}$$

这个积分具有量纲$[L]^{4-d}$，因此在不同维数的行为不同：

• $d>4$时，积分在大$\bf q$时发散，但格距$a$会提供一个自然的积分上限$\Lambda\simeq 1/a$，因此积分也被$\Lambda$处的被积函数值所主导，这是有限值。
• $d<4$时，积分在大$\bf q$时收敛，同样也存在积分上限$\Lambda\simeq 1/a$。而积分可以通过用$\xi^{-1}$对动量重标度${\bf q}$来无量纲化，因此积分结果正比于$\xi^{4-d}$。

因此得到涨落项在不同维数时的行为是

$$C_F \simeq \frac{1}{K^2} \begin{dcases} a^{4-d} & d>4\\ \xi^{4-d} & d<4 \end{dcases}$$

可以看到，$d>4$时热容不会发散，但是仍存在$T_c$处不连续性的临界行为。$d<4$时，由于$\xi$本身的发散$\sim |t|^{-1/2}$，导致热容也存在$T_c$处发散的临界行为，这一发散比原始的不连续性更加重要；事实上这会给出临界指数

$$\alpha = \frac{4-d}{2}$$

但这只是对鞍点近似结果的第一阶修正。$C_F$的发散性暗示在$d\leq4$体系中，鞍点近似的计算本身已经不再可靠。

$d_u = 4$就是所谓上临界维数。这个维数不仅可以通过考虑热涨落来得到，还可通过对其他量，例如磁化率的奇异部分的检查来得到；在$d\leq4$时，涨落的贡献总是会修正这些量的奇异行为的主导项，从而修正临界指数。

金兹堡判据

在$2\leq d\leq4$的体系，涨落的影响不够强，使体系可以存在连续相变；但涨落的影响又重要到能够修正各种量临界指数，而不可以忽略。

到目前，我们已经看到了涨落的重要性，并认为它们是鞍点近似无法正确描述临界指数的部分原因。但是与此同时，在一些体系中，例如超导体，实验结果又与鞍点近似的结果吻合较好。为什么这些涨落的影响，在不同体系中的重要性不一样？

上面对$C_F$的分析表明，在关联长度$\xi$发散时，涨落修正就会变得重要。在鞍点近似下，关联长度的发散行为是$\xi\sim\xi_0 |t|^{-1/2}$，$\xi_0\approx\sqrt{K}$是一个微观的长度尺度，可以通过散射实验的拟合线形来测量；它近似等于在相变时有序单元的尺度。

对于气液相变，$\xi_0 \sim (v_c)^{1/3}$，$v_c$是临界时的比体积（单个粒子的体积）。对于超流，$\xi_0\sim \lambda(T)$，即热波长。这些都是若干原子间距的量级$1-10\ {\mathring {\rm A} }$。但是另一方面，超导体系中的基本单元是库珀对，成对电子会被库仑势排斥，间距约$\xi_0 \sim 10^3 \ {\rm \mathring A }$。

从前面对热容的计算和分析中得知，鞍点近似给出热容的结果$\Delta C_{\rm sp} \propto 1/u$。涨落修正则正比于$C_F$；由于$K\propto \xi_0^2$，则$C_F\propto \xi_0^{-d} t^{-(4-d)/2}$。由此可以得到一个衡量涨落影响的判据：

$$\xi_0^{-d} t^{-(4-d)/2} \gg \Delta C_{\rm sp} \qquad \Longrightarrow \qquad |t| \ll t_G \simeq \frac{1}{(\xi_0^d \Delta C_{\rm sp})^{2/(4-d)}}$$

上述条件就是金兹堡判据，$t_G$称为金兹堡约化温度。该条件被满足时，涨落对鞍点结果的影响就不可被忽略。

在任何$d<4$的体系中，上述条件显然在临界附近$t\sim0$被充分满足；但是实验分辨率可能探测不到小于$t_G$的约化温度，这样只会探测到与鞍点结果一致的临界行为，例如热容的不连续性（而非发散性）。利用这一不连续性，可以估计$t_G$的量级：$\xi_0$约为原子尺度量级，$\Delta C_{\rm sp}$约在$Nk_B$量级，后者对大多数相变都接近$1$，因此在$d=3$时候$t_G \sim \xi_0^{-6}$。

在$\xi_0\sim a$约为数个原子间距的体系，$t_G\sim10^{-1} - 10^{-2}$的分辨率就足够显示出涨落对鞍点结果的修正。但是对于超导体系，$\xi_0\sim 10^3 a$，$t_G < 10^{-18}$的分辨率才能看到显著的涨落修正，远远超出现有实验仪器的能力。

需要强调的是，不仅通过热容，还通过其他热力学函数也能得到类似的判据。一般来说，检查热力学量$X$的行为，在$t < t_G(X)$时候，涨落对鞍点近似的修正就变得重要，其中$t_G(X) \simeq A(X) \xi_0^{-2d/(4-d)}$。但是对不同的热力学量，系数$A(X)$可能相差一到两个数量级，因此原则上可以在某体系中，在相同的分辨率下，观察到某些热力学量的行为接近鞍点结果，同时看到另一些热力学量的行为受到明显的涨落影响。

总结

到目前，我们根据朗道-金兹堡理论和涨落分析，得到的一些结论总结如下：

• 对于$d > d_u = 4$维的体系，鞍点近似有效，一些临界指数结果是：$\alpha = 0$，$\beta = 1/2$，$\gamma = 1$，$\nu = 1/2$，$\eta = 0$。
• 对于$d < d_\ell$（对于连续对称性体系$d_\ell = 2$，离散对称性体系$d_\ell = 1$）的体系，涨落强到足以破坏有序相的存在。
• 对于$d_\ell \leq d \leq d_u$的中间维数，涨落足够强以显著影响鞍点结果，但又不够强到足以破坏长程序。我们最关心的体系正是$d=3$的这种情况。此时被涨落修正的临界指数$\alpha = 1/2$。